拉氏变换和拉氏逆变换常用结论和经典定理展示与证明
一、定义与概念1.1 拉普拉斯变换1.2 拉普拉斯逆变换
二、拉氏变换和拉氏逆变换常用结论和经典定理2.1 常用结论2.2 经典定理
三、常用结论证明3.1 Unit impluse function3.2 Unit step function3.3 Ramp function3.4 Exponential function3.5 Sine function3.6 Cosine function3.7 Power function
四、经典定理证明4.1 线性性质4.2 相似性质4.3 微分之导数的像函数4.4 微分之像函数的导数4.5 积分的像函数4.6 像函数的积分4.7 延迟性质4.8 位移性质4.9 终值定理4.10 初值定理
参考文献
本文适合于工科课程不过于要求过程严谨、侧重应用的特点，且拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换适用于工科课程中的信号与系统、复变函数与积分变换、电路理论、自动控制原理以及计算机控制原理的基础部分，因此本文提供拉氏变换与拉氏逆变换的重要结论与定理，同时，也为对相关证明感兴趣的同学提供了结论与定理的证明，如果你觉得本文对你有所帮助，可收藏本文，但转载不被允许
一、定义与概念
1.1 拉普拉斯变换
设函数
f
(
t
)
f(t)
f(t)是定义在
[
0
,
+
∞
)
[0,+\infty)
[0,+∞)上的实值函数，如果对于复参数
s
=
β
+
j
w
s=\beta+\text{j}w
s=β+jw，积分
F
(
s
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
(1)
F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt\tag{1}
F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt(1) 在复平面
s
s
s的某一个区域内收敛，则称
F
(
s
)
F(s)
F(s)为
f
(
t
)
f(t)
f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为
F
(
s
)
=
L
[
f
(
t
)
]
F(s)=\mathscr{L}[f(t)]
F(s)=L[f(t)]，该函数被称为像函数。
1.2 拉普拉斯逆变换
已知函数
f
(
t
)
f(t)
f(t)经过拉普拉斯变换后得到
F
(
s
)
F(s)
F(s)，则原函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)可由
F
(
s
)
F(s)
F(s)经过拉普拉斯逆变换得到:
f
(
t
)
=
L
−
1
[
F
(
s
)
]
=
1
2
π
j
∫
β
−
j
∞
β
+
j
∞
F
(
s
)
e
s
t
d
s
(2)
f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty}F(s)e^{st}\,ds\tag{2}
f(t)=L−1[F(s)]=2πj1∫β−j∞β+j∞F(s)estds(2) 记
f
(
t
)
=
L
−
1
[
F
(
s
)
]
f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]
f(t)=L−1[F(s)]，
f
(
t
)
f(t)
f(t)被称为原像函数，此过程称为拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换）。
二、拉氏变换和拉氏逆变换常用结论和经典定理
2.1 常用结论
No.Name of items
f
(
t
)
f(t)
f(t)
F
(
s
)
\textit{F}(s)
F(s) 1unit impluse
δ
(
t
)
\delta(t)
δ(t)12unit step
u
(
t
)
u(t)
u(t)
1
s
\frac{1}{s}
s13ramp
tu
(
t
)
\textit{tu}(t)
tu(t)
1
s
2
\frac{1}{s^{2}}
s214exponential
e
at
u
(
t
)
e^{\textit{at}}\textit{u}(t)
eatu(t)
1
s
−
a
\frac{1}{s-a}
s−a15sine
sin
w
t
\sin{wt}
sinwt
w
s
2
+
w
2
\frac{w}{s^{2}+w^{2}}
s2+w2w6cosine
cos
w
t
\cos{wt}
coswt
s
s
2
+
w
2
\frac{s}{s^{2}+w^{2}}
s2+w2s7power
t
m
t^m
tm
m
!
s
m
+
1
\frac{m!}{s^{m+1}}
sm+1m!
2.2 经典定理
No.定理&性质名称 表达式 1线性性质
L
[
α
f
(
t
)
+
β
g
(
t
)
]
=
α
F
(
s
)
+
β
G
(
s
)
\mathscr{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(s)+\beta G(s)
L[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)，其中
α
\alpha
α和
β
\beta
β为常数2相似性质
L
[
f
(
a
t
)
]
=
1
a
F
(
s
a
)
\mathscr{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})
L[f(at)]=a1F(as)，其中
a
a
a为大于0的常数3微分之导数的像函数
L
[
f
(
n
)
(
t
)
]
=
s
n
F
(
s
)
−
s
n
−
1
f
(
0
)
−
s
n
−
2
f
′
(
0
)
−
⋯
−
f
(
n
−
1
)
(
0
)
\mathscr{L}[{f}^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-{f}^{(n-1)}(0)
L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0)4微分之像函数的导数
F
(
n
)
(
s
)
=
(
−
1
)
n
L
[
t
n
f
(
t
)
]
{F}^{(n)}(s)=(-1)^n\mathscr{L}[t^nf(t)]
F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)]5积分的像函数
L
[
∫
0
t
d
t
∫
0
t
d
t
⋯
∫
0
t
⏟
n
个
f
(
t
)
d
t
]
=
1
s
n
F
(
s
)
\mathscr{L}[\underbrace{\int_0^tdt\int_0^tdt\cdots\int_0^t}_{n个}f(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s)
L[n个
∫0tdt∫0tdt⋯∫0tf(t)dt]=sn1F(s)6像函数的积分
∫
s
∞
d
s
∫
s
∞
d
s
⋯
∫
s
∞
⏟
n
个
F
(
s
)
d
s
=
L
[
f
(
t
)
t
n
]
\underbrace{\int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\cdots\int_s^\infty}_{n个} F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t^n}]
n个
∫s∞ds∫s∞ds⋯∫s∞F(s)ds=L[tnf(t)]7延迟性质
L
[
f
(
t
−
τ
)
]
=
e
−
s
τ
F
(
s
)
\mathscr{L}[f(t-\tau)]=e^{-s\tau}F(s)
L[f(t−τ)]=e−sτF(s)8位移性质
L
[
e
a
t
f
(
t
)
]
=
F
(
s
−
a
)
\mathscr{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)
L[eatf(t)]=F(s−a)9终值定理
lim
t
→
+
∞
f
(
t
)
=
lim
s
→
0
s
F
(
s
)
\lim\limits_{t \to +\infty}f(t)=\lim\limits_{s\to 0}sF(s)
t→+∞limf(t)=s→0limsF(s)10初值定理
lim
t
→
0
+
f
(
t
)
=
lim
s
→
+
∞
s
F
(
s
)
\lim\limits_{t \to 0^+}f(t)=\lim\limits_{s\to +\infty}sF(s)
t→0+limf(t)=s→+∞limsF(s)
三、常用结论证明
3.1 Unit impluse function
已知函数
f
(
t
)
=
δ
(
t
)
f(t)=\delta (t)
f(t)=δ(t)，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
已知
δ
(
t
)
\delta(t)
δ(t)的定义如下：
δ
(
t
)
=
{
A
−
τ
2
⩽
t
⩽
τ
2
0
t
>
∣
τ
2
∣
,
且
A
τ
=
1
,
τ
→
0
+
\delta(t)=\left\{ \begin{aligned} A && -\frac{\tau}{2}\leqslant t\leqslant\frac{\tau}{2} \\ 0 && t> \left|\frac{\tau}{2} \right | \\ \end{aligned}\,\,,且A\tau=1,\tau\to0^+ \right.
δ(t)=⎩
⎨
⎧A0−2τ⩽t⩽2τt>
2τ
,且Aτ=1,τ→0+
F
(
s
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
∫
0
+
∞
δ
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
δ
(
t
)
e
−
j
w
t
d
t
=
A
∫
−
τ
2
τ
2
e
−
j
w
t
d
t
=
A
−
j
w
(
e
−
j
w
τ
2
−
e
j
w
τ
2
)
=
2
A
w
sin
w
τ
2
=
lim
τ
→
0
+
2
sin
w
τ
2
w
τ
=
1
\begin{aligned} F(s)&=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt\\&=\int_0^{+\infty}\delta(t)e^{-st}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)e^{-jwt}dt\\&=A\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}e^{-jwt}dt\\ &=\frac{A}{-jw}\left(e^{-jw\frac{\tau}{2}}-e^{jw\frac{\tau}{2}}\right)\\&=\frac{2A}{w}\sin\frac{w\tau}{2}\\ &=\lim\limits_{\tau\to0^+}\frac{2\sin\frac{w \tau}{2}}{w\tau}\\&=1 \end{aligned}
F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞δ(t)e−stdt=∫−∞+∞δ(t)e−jwtdt=A∫−2τ2τe−jwtdt=−jwA(e−jw2τ−ejw2τ)=w2Asin2wτ=τ→0+limwτ2sin2wτ=1 证毕
3.2 Unit step function
已知函数
f
(
t
)
=
u
(
t
)
f(t)=u(t)
f(t)=u(t)，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F
(
s
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
∫
0
+
∞
u
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
−
1
s
e
−
s
t
∣
0
+
∞
=
1
s
F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt=\int_0^{+\infty}u(t)e^{-st}dt=-\frac{1}{s}e^{-st}\big|_0^{+\infty}=\frac{1}{s}
F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞u(t)e−stdt=−s1e−st
0+∞=s1 证毕
3.3 Ramp function
已知函数
f
(
t
)
=
t
u
(
t
)
f(t)=tu(t)
f(t)=tu(t)，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F
(
s
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
∫
0
+
∞
t
u
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
−
1
s
∫
0
+
∞
t
d
(
e
−
s
t
)
=
−
1
s
[
t
e
−
s
t
∣
0
+
∞
−
∫
0
+
∞
e
−
s
t
d
t
]
=
1
s
2
\begin{aligned} F(s)&=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt\\ &=\int_0^{+\infty}tu(t)e^{-st}dt\\ &=-\frac{1}{s}\int_0^{+\infty}td(e^{-st})\\ &=-\frac{1}{s}\left[te^{-st}\big|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}e^{-st}dt\right]\\&=\frac{1}{s^2} \end{aligned}
F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞tu(t)e−stdt=−s1∫0+∞td(e−st)=−s1[te−st
0+∞−∫0+∞e−stdt]=s21 证毕
3.4 Exponential function
已知函数
f
(
t
)
=
e
a
t
u
(
t
)
f(t)=e^{at}u(t)
f(t)=eatu(t)，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F
(
s
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
∫
0
+
∞
e
a
t
u
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
1
a
−
s
e
(
a
−
s
)
t
∣
0
+
∞
=
1
s
−
a
F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt=\int_0^{+\infty}e^{at}u(t)e^{-st}dt=\frac{1}{a-s}e^{(a-s)t}\big|_0^{+\infty}=\frac{1}{s-a}
F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞eatu(t)e−stdt=a−s1e(a−s)t
0+∞=s−a1 证毕
3.5 Sine function
已知函数
f
(
t
)
=
sin
w
t
f(t)=\sin wt
f(t)=sinwt，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F
(
s
)
=
L
[
sin
w
t
]
=
1
2
j
(
L
[
e
j
w
t
]
−
L
[
e
−
j
w
t
]
)
=
1
2
j
(
1
s
−
j
w
−
1
s
+
j
w
)
=
w
s
2
+
w
2
\begin{aligned} F(s)&=\mathscr{L}[\sin wt]=\frac{1}{2j}\left(\mathscr{L}[e^{jwt}]-\mathscr{L}[e^{-jwt}]\right)\\&=\frac{1}{2j}\left(\frac{1}{s-jw}-\frac{1}{s+jw}\right)=\frac{w}{s^2+w^2} \end{aligned}
F(s)=L[sinwt]=2j1(L[ejwt]−L[e−jwt])=2j1(s−jw1−s+jw1)=s2+w2w 证毕
3.6 Cosine function
已知函数
f
(
t
)
=
cos
w
t
f(t)=\cos wt
f(t)=coswt，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F
(
s
)
=
L
[
cos
w
t
]
=
1
2
(
L
[
e
j
w
t
]
+
L
[
e
−
j
w
t
]
)
=
1
2
(
1
s
−
j
w
+
1
s
+
j
w
)
=
s
s
2
+
w
2
\begin{aligned} F(s)&=\mathscr{L}[\cos wt]=\frac{1}{2}\left(\mathscr{L}[e^{jwt}]+\mathscr{L}[e^{-jwt}]\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-jw}+\frac{1}{s+jw}\right)=\frac{s}{s^2+w^2} \end{aligned}
F(s)=L[coswt]=21(L[ejwt]+L[e−jwt])=21(s−jw1+s+jw1)=s2+w2s 证毕
3.7 Power function
已知函数
f
(
t
)
=
t
m
f(t)=t^m
f(t)=tm，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F
(
s
)
=
L
[
t
m
]
=
∫
0
+
∞
t
m
e
−
s
t
d
t
=
−
1
s
∫
0
+
∞
t
m
d
(
e
−
s
t
)
=
−
1
s
t
m
e
−
s
t
∣
0
+
∞
+
m
s
∫
0
+
∞
t
m
−
1
e
−
s
t
d
t
=
m
s
L
[
t
m
−
1
]
=
m
(
m
−
1
)
s
2
L
[
t
m
−
2
]
⋮
=
m
!
s
m
L
[
t
0
]
=
m
!
s
m
+
1
\begin{aligned} F(s)&=\mathscr{L}[t^m]\\&=\int_0^{+\infty}t^me^{-st}dt\\&=-\frac{1}{s}\int_0^{+\infty}t^md(e^{-st})\\ &=-\frac{1}{s}t^me^{-st}\big|_0^{+\infty}+\frac{m}{s}\int_0^{+\infty}t^{m-1}e^{-st}dt\\ &=\frac{m}{s}\mathscr{L}[t^{m-1}]\\&=\frac{m(m-1)}{s^2}\mathscr{L}[t^{m-2}]\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vdots\\ &=\frac{m!}{s^m}\mathscr{L}[t^0]\\&=\frac{m!}{s^{m+1}} \end{aligned}
F(s)=L[tm]=∫0+∞tme−stdt=−s1∫0+∞tmd(e−st)=−s1tme−st
0+∞+sm∫0+∞tm−1e−stdt=smL[tm−1]=s2m(m−1)L[tm−2]⋮=smm!L[t0]=sm+1m! 证毕
四、经典定理证明
4.1 线性性质
设
α
,
β
\alpha,\beta
α,β为常数，且有
L
[
f
(
t
)
]
=
F
(
s
)
,
L
[
g
(
t
)
]
=
G
(
s
)
\mathscr{L}[f(t)]=F(s),\mathscr{L}[g(t)]=G(s)
L[f(t)]=F(s),L[g(t)]=G(s)，则有
L
[
α
f
(
t
)
+
β
g
(
t
)
]
=
∫
0
+
∞
(
α
f
(
t
)
+
β
g
(
t
)
)
e
−
s
t
d
t
=
α
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
+
β
∫
0
+
∞
g
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
α
F
(
s
)
+
β
G
(
s
)
\begin{aligned} \mathscr{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]&=\int_0^{+\infty}\left(\alpha f(t)+\beta g(t)\right)e^{-st}dt\\ &=\alpha \int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt+\beta \int_0^{+\infty}g(t)e^{-st}dt\\ &=\alpha F(s)+\beta G(s) \end{aligned}
L[αf(t)+βg(t)]=∫0+∞(αf(t)+βg(t))e−stdt=α∫0+∞f(t)e−stdt+β∫0+∞g(t)e−stdt=αF(s)+βG(s) 证毕
4.2 相似性质
设
L
[
f
(
t
)
]
=
F
(
s
)
\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)
L[f(t)]=F(s)，则对任一常数
a
>
0
a>0
a>0有
L
[
f
(
a
t
)
]
=
∫
0
+
∞
f
(
a
t
)
e
−
s
t
d
t
=
令
x
=
a
t
1
a
∫
0
+
∞
f
(
x
)
e
−
(
s
a
)
x
d
x
=
1
a
F
(
s
a
)
\begin{aligned} \mathscr{L}[f(at)]&=\int_0^{+\infty}f(at)e^{-st}dt\\& \xlongequal{令x=at}\frac{1}{a}\int_0^{+\infty}f(x)e^{-(\frac{s}{a})x}dx\\&=\frac{1}{a}F\left({\frac{s}{a}}\right) \end{aligned}
L[f(at)]=∫0+∞f(at)e−stdt令x=at
a1∫0+∞f(x)e−(as)xdx=a1F(as) 证毕
4.3 微分之导数的像函数
设
L
[
f
(
t
)
]
=
F
(
s
)
\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)
L[f(t)]=F(s)，则有
L
[
f
′
(
t
)
]
=
∫
0
+
∞
f
′
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
分部积分
f
(
t
)
e
−
s
t
∣
0
+
∞
+
s
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
s
F
(
s
)
−
f
(
0
)
\begin{aligned} \mathscr{L}[f'(t)]&=\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt\\ &\xlongequal{分部积分}f(t)e^{-st}\big|_0^{+\infty}+s\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\\ &=sF(s)-f(0) \end{aligned}
L[f′(t)]=∫0+∞f′(t)e−stdt分部积分
f(t)e−st
0+∞+s∫0+∞f(t)e−stdt=sF(s)−f(0) 经过数学归纳法可得：
L
[
f
(
n
)
(
t
)
]
=
s
n
F
(
s
)
−
s
n
−
1
f
(
0
)
−
s
n
−
2
f
′
(
0
)
−
⋯
−
f
(
n
−
1
)
(
0
)
\mathscr{L}[{f}^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-{f}^{(n-1)}(0)
L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0) 证毕
4.4 微分之像函数的导数
设
L
[
f
(
t
)
]
=
F
(
s
)
\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)
L[f(t)]=F(s)，则有
F
′
(
s
)
=
d
d
s
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
∫
0
+
∞
∂
∂
s
[
f
(
t
)
e
−
s
t
]
d
t
=
−
∫
0
+
∞
t
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
−
L
[
t
f
(
t
)
]
\begin{aligned} F'(s)&=\frac{d}{ds}\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\\&=\int_0^{+\infty}\frac{\partial}{\partial s}\left[f(t)e^{-st}\right]dt\\ &=-\int_0^{+\infty}tf(t)e^{-st}dt\\ &=-\mathscr{L}[tf(t)] \end{aligned}
F′(s)=dsd∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞∂s∂[f(t)e−st]dt=−∫0+∞tf(t)e−stdt=−L[tf(t)] 对
F
(
s
)
F(s)
F(s)施行同样步骤，反复进行可得：
F
(
n
)
(
s
)
=
(
−
1
)
n
L
[
t
n
f
(
t
)
]
{F}^{(n)}(s)=(-1)^n\mathscr{L}[t^nf(t)]
F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)] 证毕
4.5 积分的像函数
设
L
[
f
(
t
)
]
=
F
(
s
)
,
g
(
t
)
=
∫
0
t
f
(
t
)
d
t
\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s),g(t)=\int_0^tf(t)dt
L[f(t)]=F(s),g(t)=∫0tf(t)dt，则
g
′
(
t
)
=
f
(
t
)
g'(t)=f(t)
g′(t)=f(t)，且
g
(
0
)
=
0
g(0)=0
g(0)=0，利用微分之导数的像函数可得：
L
[
g
′
(
t
)
]
=
s
L
[
g
(
t
)
]
−
g
(
0
)
=
s
L
[
g
(
t
)
]
=
s
L
[
∫
0
t
f
(
t
)
d
t
]
\mathscr{L}[g'(t)]=s\mathscr{L}[g(t)]-g(0)=s\mathscr{L}[g(t)]=s\mathscr{L}\left[\int_0^tf(t)dt\right]
L[g′(t)]=sL[g(t)]−g(0)=sL[g(t)]=sL[∫0tf(t)dt] 即有
L
[
∫
0
t
f
(
t
)
d
t
]
=
1
s
F
(
s
)
\mathscr{L}\left[\int_0^tf(t)dt\right]=\frac{1}{s}F(s)
L[∫0tf(t)dt]=s1F(s)，反复利用上式可得：
L
[
∫
0
t
d
t
∫
0
t
d
t
⋯
∫
0
t
⏟
n
个
f
(
t
)
d
t
]
=
1
s
n
F
(
s
)
\mathscr{L}[\underbrace{\int_0^tdt\int_0^tdt\cdots\int_0^t}_{n个}f(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s)
L[n个
∫0tdt∫0tdt⋯∫0tf(t)dt]=sn1F(s) 证毕
4.6 像函数的积分
设
L
[
f
(
t
)
]
=
F
(
s
)
\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)
L[f(t)]=F(s)，则有
∫
s
+
∞
F
(
s
)
d
s
=
∫
s
+
∞
[
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
]
d
s
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
[
∫
s
+
∞
e
−
s
t
d
s
]
d
t
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
⋅
[
−
1
t
e
−
s
t
]
∣
s
+
∞
d
t
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
t
e
−
s
t
=
L
[
f
(
t
)
t
]
\begin{aligned} \int_s^{+\infty}F(s)ds&=\int_s^{+\infty}\left[\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\right]ds\\ &=\int_0^{+\infty}f(t)\left[\int_s^{+\infty}e^{-st}ds\right]dt\\ &=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot\left[-\frac{1}{t}e^{-st}\right]\big|_s^{+\infty}dt\\ &=\int_0^{+\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\\ &=\mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right] \end{aligned}
∫s+∞F(s)ds=∫s+∞[∫0+∞f(t)e−stdt]ds=∫0+∞f(t)[∫s+∞e−stds]dt=∫0+∞f(t)⋅[−t1e−st]
s+∞dt=∫0+∞tf(t)e−st=L[tf(t)] 反复利用上式可得：
∫
s
∞
d
s
∫
s
∞
d
s
⋯
∫
s
∞
⏟
n
个
F
(
s
)
d
s
=
L
[
f
(
t
)
t
n
]
\underbrace{\int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\cdots\int_s^\infty}_{n个} F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t^n}]
n个
∫s∞ds∫s∞ds⋯∫s∞F(s)ds=L[tnf(t)] 证毕
4.7 延迟性质
设
L
[
f
(
t
)
]
=
F
(
s
)
\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)
L[f(t)]=F(s)，当
t
<
0
t<0
t<0时，
f
(
t
)
=
0
f(t)=0
f(t)=0，则对任一非负实数
τ
\tau
τ有
L
[
f
(
t
−
τ
)
]
=
∫
0
+
∞
f
(
t
−
τ
)
e
−
s
t
d
t
=
∫
τ
+
∞
f
(
t
−
τ
)
e
−
s
t
d
t
\mathscr{L}[f(t-\tau)]=\int_0^{+\infty}f(t-\tau)e^{-st}dt=\int_\tau^{+\infty}f(t-\tau)e^{-st}dt
L[f(t−τ)]=∫0+∞f(t−τ)e−stdt=∫τ+∞f(t−τ)e−stdt 令
t
1
=
t
−
τ
t_1=t-\tau
t1=t−τ有
L
=
∫
0
+
∞
f
(
t
1
)
e
−
s
(
t
1
+
τ
)
d
t
1
=
e
−
s
τ
∫
0
+
∞
f
(
t
1
)
e
−
s
t
1
d
t
1
=
e
−
s
τ
F
(
s
)
\mathscr{L}=\int_0^{+\infty}f(t_1)e^{-s(t_1+\tau)}dt_1=e^{-s\tau}\int_0^{+\infty}f(t_1)e^{-st_1}dt_1=e^{-s\tau}F(s)
L=∫0+∞f(t1)e−s(t1+τ)dt1=e−sτ∫0+∞f(t1)e−st1dt1=e−sτF(s) 证毕
4.8 位移性质
设
L
[
f
(
t
)
]
=
F
(
s
)
\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)
L[f(t)]=F(s)，则有
L
[
e
a
t
f
(
t
)
]
=
∫
0
+
∞
e
a
t
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
(
s
−
a
)
t
d
t
=
F
(
s
−
a
)
\mathscr{L}[e^{at}f(t)]=\int_0^{+\infty}e^{at}f(t)e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-(s-a)t}dt=F(s-a)
L[eatf(t)]=∫0+∞eatf(t)e−stdt=∫0+∞f(t)e−(s−a)tdt=F(s−a) 证毕
4.9 终值定理
从拉普拉斯变换的微分性质我们知道以下一个简单的等式：
L
[
f
′
(
t
)
]
=
∫
0
+
∞
f
′
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
s
F
(
s
)
−
f
(
0
)
\mathscr{L}[f'(t)]=\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0)
L[f′(t)]=∫0+∞f′(t)e−stdt=sF(s)−f(0) 我们将等式两边取极限
s
→
0
s\to0
s→0，可得
lim
s
→
0
∫
0
+
∞
f
′
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
∫
0
+
∞
f
′
(
t
)
d
t
=
lim
t
→
+
∞
f
(
t
)
−
f
(
0
)
=
lim
s
→
0
s
F
(
s
)
−
f
(
0
)
\lim\limits_{s\to0}\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}f'(t)dt=\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)-f(0)=\lim\limits_{s\to0}sF(s)-f(0)
s→0lim∫0+∞f′(t)e−stdt=∫0+∞f′(t)dt=t→+∞limf(t)−f(0)=s→0limsF(s)−f(0) 化简可得：
f
(
+
∞
)
=
lim
t
→
+
∞
f
(
t
)
=
lim
s
→
0
s
F
(
s
)
f(+\infty)=\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=\lim\limits_{s\to0}sF(s)
f(+∞)=t→+∞limf(t)=s→0limsF(s) 证毕
4.10 初值定理
从拉普拉斯变换的微分性质我们知道以下一个简单的等式：
L
[
f
′
(
t
)
]
=
∫
0
+
∞
f
′
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
s
F
(
s
)
−
f
(
0
)
\mathscr{L}[f'(t)]=\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0)
L[f′(t)]=∫0+∞f′(t)e−stdt=sF(s)−f(0) 我们将等式两边取极限
s
→
+
∞
s\to+\infty
s→+∞，可得
lim
s
→
+
∞
∫
0
+
∞
f
′
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
0
=
lim
s
→
+
∞
s
F
(
s
)
−
f
(
0
)
\lim\limits_{s\to+\infty}\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt=0=\lim\limits_{s\to+\infty}sF(s)-f(0)
s→+∞lim∫0+∞f′(t)e−stdt=0=s→+∞limsF(s)−f(0) 因此，我们可以得到：
lim
t
→
0
+
f
(
t
)
=
f
(
0
)
=
lim
s
→
+
∞
s
F
(
s
)
\lim\limits_{t\to0^+}f(t)=f(0)=\lim\limits_{s\to+\infty}sF(s)
t→0+limf(t)=f(0)=s→+∞limsF(s) 证毕
参考文献
[1]李红, 谢松法. 复变函数与积分变换.第4版[M]. 高等教育出版社, 2013.