符号函数是指如下函数
sgn
x
=
{
1
,
x
>
0
,
0
,
x
=
0
,
−
1
,
x
<
0.
{\displaystyle \operatorname {sgn} x={\begin{cases}1,&x>0,\\0,&x=0,\\-1,&x<0.\end{cases}}}
它和绝对值函数有密切关系。
目录
1 函数性质
2 运算性质
3 积分表达式
4 在原函数中的应用
函数性质[]
定义域：
R
{\displaystyle \R}
，值域：
{
−
1
,
0
,
1
}
.
{\displaystyle \{-1,0,1\}.}
单调性：单调递增。
奇偶性：奇函数。
连续性：除原点外的任何区间上连续且一致连续，
x
=
0
{\displaystyle x = 0}
是跳跃间断点，不过函数是半连续的。
可微性：除原点外处处可微，且
(
sgn
x
)
′
=
0
,
∀
x
≠
0.
{\displaystyle (\operatorname {sgn} x)'=0,\forall x\neq 0.}
可积性：符号函数 Riemann 可积，且其一个原函数是绝对值函数
∫
sgn
x
d
x
=
|
x
|
+
C
,
∫
a
b
sgn
x
d
x
=
|
b
|
−
|
a
|
.
{\displaystyle \int \operatorname {sgn} x\mathrm {d} x=|x|+C,\int _{a}^{b}\operatorname {sgn} x\mathrm {d} x=|b|-|a|.}
符号函数不是初等函数。
运算性质[]
∀
x
∈
R
,
|
x
|
=
x
sgn
x
,
x
=
|
x
|
sgn
x
.
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,|x|=x\operatorname {sgn} x,x=|x|\operatorname {sgn} x.}
sgn
(
sgn
x
)
=
sgn
x
.
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\operatorname {sgn} x)=\operatorname {sgn} x.}
对任意连续函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
，有
|
f
(
x
)
|
=
f
(
x
)
sgn
f
(
x
)
,
f
(
x
)
=
|
f
(
x
)
|
sgn
f
(
x
)
.
{\displaystyle |f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x),f(x)=|f(x)|\operatorname {sgn} f(x).}
积分表达式[]
运用 Dirichlet 积分，符号函数可以表达为
sgn
x
=
2
π
∫
0
+
∞
sin
x
t
t
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {sgn} x={\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{+\infty }{\dfrac {\sin xt}{t}}\mathrm {d} t.}
在原函数中的应用[]
注意到对连续函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
有
|
f
(
x
)
|
=
f
(
x
)
sgn
f
(
x
)
,
f
(
x
)
=
|
f
(
x
)
|
sgn
f
(
x
)
{\displaystyle |f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x),f(x)=|f(x)|\operatorname {sgn} f(x)}
，它可以很方便地用来求解带有绝对值符号的函数的不定积分，实际上，下述等式
∫
|
f
(
x
)
|
d
x
=
∫
f
(
x
)
sgn
f
(
x
)
d
x
=
sgn
f
(
x
)
∫
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int |f(x)|\mathrm {d} x=\int f(x)\operatorname {sgn} f(x)\mathrm {d} x=\operatorname {sgn} f(x)\int f(x)\mathrm {d} x.}
的后一个等号对任意不包含
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x) = 0}
的区间都是正确的，因此它可以作为这些区间上
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle |f(x)|}
的原函数
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
。
但是，一旦区间包含
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x) = 0}
的那些点，情况就不同了，这时
sgn
f
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sgn} f(x)}
在
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x) = 0}
的那些点处发生间断，此时如果他的一个原函数
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
在该点处非零，必然导致原函数
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
是间断的，这时，如果我们不计算定积分，那么
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
是可以被考虑的，如果要计算定积分，必须使
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
连续，故需要对原函数
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
做适当修改，这里仅考虑在我们感兴趣的区间上
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x) = 0}
的点
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
{\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n}
有限（至多可列并有最小点或最大点，以下假设有最小点，最大点同理）。
在我们感兴趣的区间
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
上做如下意义的原函数
F
1
(
x
)
{\displaystyle F_1(x)}
：
F
1
(
x
)
=
{
F
(
x
)
,
x
∈
(
a
,
x
1
]
,
F
(
x
)
−
2
G
(
x
1
)
,
x
∈
(
x
1
,
x
2
]
,
F
(
x
)
−
2
G
(
x
1
)
−
2
G
(
x
2
)
,
x
∈
(
x
2
,
x
3
]
,
⋯
,
F
(
x
)
−
2
G
(
x
1
)
−
⋯
−
2
G
(
x
n
)
,
x
∈
(
x
n
,
b
)
,
{\displaystyle F_1(x) = \begin{cases}
F(x), & x \in (a, x_1], \\
F(x) - 2G(x_1), & x \in (x_1, x_2], \\
F(x) - 2G(x_1) - 2G(x_2), & x \in (x_2, x_3], \\
\cdots, \\
F(x) - 2G(x_1) - \cdots - 2G(x_n), & x \in (x_n, b), \\
\end{cases}}
其中，
G
(
x
)
{\displaystyle G(x)}
是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的一个原函数。
这样拼接而成的原函数是连续的，且处处可微。
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